Block GMRES Method with Inexact Breakdowns and Deflated Restarting

We consider the solution of large linear systems with multiple right-hand sides using a block GMRES approach. We introduce a new algorithm that effectively handles the situation of almost rank deficient block generated by the block Arnoldi procedure and that enables the recycling of spectral information at restart. The first feature is inherited from an algorithm introduced by Robbé and Sadkane [M. Robbé and M. Sadkane. Exact and inexact breakdowns in the block GMRES method. Linear Algebra and its Applications, 419: 265-285, 2006.], while the second one is obtained by extending the deflated restarting strategy proposed by Morgan [R. B. Morgan. Restarted block GMRES with deflation of eigenvalues. Applied Numerical Mathematics, 54(2): 222-236, 2005.]. Through numerical experiments, we show that the new algorithm combines efficiently the attractive numerical features of its two parents that it outperforms. Key-words: Block GMRES, multiple right-hand sides, numerical rank deficiency, subspace augmentation, harmonic Ritz values ∗ Inria, CNRS (LaBRI UMR 5800) and Université de Bordeaux † School of Mathematical Sciences/Institute of Computational Science, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu, Sichuan, 611731, P. R. China ([email protected] or [email protected]). This author was supported by INRIA fund, NSFC (61170311, 11201055), Chinese Universities Specialized Research Fund for the Doctoral Program (20120185120026), the State Scholarship Fund, the Fundamental Research Funds for the Central Universities. GMRES par bloc avec inexact breakdowns et deflation au restart Résumé : Nous considérons la résolution de systèmes linéaires avec second-membres multiplques par une approche GMRES par bloc. Nous introduisons un nouvel algorithme qui gère efficacement d’une part la situation de perte de rang numérique dans les blocs générés par la méthode d’Arnoldi d’autre part le recyclage d’information spectrale au redemarrage via une technique d’augmentation d’espace. La première propriété est hérité de l’algorithme introduit par Robbé and Sadkane [M. Robbé and M. Sadkane. Exact and inexact breakdowns in the block GMRES method. Linear Algebra and its Applications, 419: 265-285, 2006.], et la seconde est obtenue en étendant la stratégie de redémmarage proposée par Morgan [R. B. Morgan. Restarted block GMRES with deflation of eigenvalues. Applied Numerical Mathematics, 54(2): 222-236, 2005.]. Via des expérimentations numériques, nous montrons que ce nouvel algorithme combine efficacement les deux propriétés de ces deux parents dont il améliore les performances. Mots-clés : bloc GMRES, second-membres multiples, perte de rang numérique, augmentation de sous-espace, valeurs de Ritz harmoniques Block GMRES-DR method with inexact breakdowns 3